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Das Dreieck ist eine geometrische Figur mit drei Eckpunkten und drei Seiten. Die Größe eines Dreiecks kann mit mehrere Methoden berechnet werden, abhängig von den bekannten Größen (z.B. Seitenlänge, Winkel, Höhe und Basis). Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich am einfachsten berechnen, wenn eine Seitenlänge und die dazugehörige Höhe bekannt ist.
Dreieck Fläche berechnen
Der folgende Rechner berechnet den Flächeninhalt eines Dreiecks anhand der Basis (einer Seite) und der Höhe des Dreiecks.
Flächenrechner
Formel zur Flächenberechnung bei Dreiecken
Die Fläche eines Dreiecks kann am einfachsten berechnet werden, indem die Höhe und die Breite (Basis) des Dreiecks miteinander multipliziert werden. Anschließend wird das Ergebnis halbiert. Daraus ergibt sich folgende Formel:
Fläche = (Basis x Höhe) : 2
Dreieck beschriften
Die Ecken des Dreiecks werden für gewöhnlich mit den Großbuchstaben A, B und C beschriftet. Die Beschriftung erfolgt dabei gegen den Uhrzeigersinn. Begonnen wird an der linken unteren Ecke mit A.
Die drei Seiten werden mit den Kleinbuchstaben a, b und c beschriftet. Die Seite, die gegenüber der Ecke A liegt, erhält dabei die Bezeichnung a. Gegenüber von Ecke B liegt Seite b und gegenüber von Ecke C befindet sich Seite c.
Die drei inneren Winkel des Dreiecks erhalten die griechischen Buchstaben α (alpha), β (beta) und γ (gamma). Sie befinden sich bei den entsprechenden Ecken (α bei A, β bei B und γ bei C). Der Abstand vom gegenüberliegenden Eckpunkt zur Grundseite bzw. Basis wird als Höhe bezeichnet. Beschriftet werden diese Höhen mit ha (Abstand von a zu A), hb (Abstand von b zu B) und hc (Abstand von c zu C).
Besondere Dreiecke
In einem klassischen Dreieck können alle Seiten unterschiedlich lang und alle Winkel unterschiedlich groß sein, solange die Summe aller Winkel 180° ergibt. Es gibt jedoch auch einige besondere Dreiecke, bei denen zwei oder alle Seiten gleichlang sind.
Gleichschenkliges Dreieck
Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Diese beiden gleich langen Seiten werden als Schenkel bezeichnet. Die dritte Seite bildet die Basis des Dreiecks. Die an die Basis angrenzenden Winkel, auch Basiswinkel genannt, sind beide gleich groß.
Da das gleichschenklige Dreieck entlang der Höhe achsensymmetrisch ist, nimmt es einen besonderen Stellenwert beispielsweise in der Architektur und der Astronomie ein.
Gleichseitiges Dreieck
Ein Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind, wird als gleichseitiges oder regelmäßiges Dreieck bezeichnet. Alle Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks betragen 60°. Wie das gleichschenklige Dreieck ist auch das gleichseitige Dreieck achsensymmetrisch. Darüberhinaus ist es außerdem rotationssymmetrisch.
Aufgrund seiner Eigenschaften gehört das gleichseitige Dreieck zu den sogenannten regelmäßigne Polygonen. Dies macht sie für die Konstruktion und Gestaltung von Gebäuden, Kunstwerken und anderen Objekten besonders attraktiv.
Rechtwinkliges Dreieck
Beträgt einer der Winkel des Dreiecks 90°, also einen rechten Winkel, wird es als rechtwinkliges Dreieck bezeichnet. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse. Sie ist grundsätzlich die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Die beiden anderen Seiten werden als Katheten bezeichnet. Dabei ist beispielsweise die Ankathete zu α die an den Winkel α angrenzende Seite. Die Seite, die dem Winkel α gegenüberliegt, ist die Gegenkathete zu α.
Ein bekanntes Beispiel für die Verwendung eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Berechnung von Entfernungen und Höhen mit dem Satz des Pythagoras (a² + b² = c²). c ist in diesem Fall die Hypotenuse und a, b sind die Katheten.
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Weitere Berechnungsformeln für Dreiecke
Um alle Winkel und Seiten eines Dreiecks zu berechnen, müssen mindestens drei Informationen über das Dreieck bekannt sein. Das können zum Beispiel alle Seiten, zwei Seiten und ein Winkel oder eine Seite und zwei Winkel sein. Die folgenden Formeln beziehen sich auf folgende Ausgangssituation: Bekannt sind die Seiten a und b sowie der Winkel γ.
Fehlende Seite berechnen
Um die Berechnung der Winkel zu vereinfachen, wird zunächst die fehlende Seite c berechnet. Dazu wird der Cosinus-Satz zu c benötigt:
Cosinus-Satz zu c: c² = a² + b² − 2ab × cos γ°
Um c zu erhalten, wird anschließend die Wurzel aus c² gezogen.
Winkelberechnung
Kennt man nun die drei Seiten und den Winkel γ, kann der Winkel α mithilfe des Cosinus-Satzes zu α berechnet werden:
Cosinus-Satz zu a: a² = b² + c² - 2bc x cos α
Umgestellt nach α ergibt sich daraus folgende Formel:
Winkel α = (arccos((b² + c² - a²) / 2bc )) x 180 : π
Da die Summe aller Winkel in einem Dreieck 180° ergeben muss, reicht für die Berechnung des letzten fehlenden Winkels (β) folgende einfache Formel:
Winkel β = 180° - α - γ
Umfang berechnen
Um den Umfang des Dreiecks zu berechnen, müssen alle drei Seitenlängen miteinander addiert werden:
Umfang = a + b + c
Heron-Formel
Wenn die Höhe des Dreiecks nicht bekannt ist, kann der Flächeninhalt eines Dreiecks auch mit der Heron-Formel berechnet werden. Die Formel lautet wie folgt:
Fläche = √(s x (s - a) x (s - b) x (s - c))
Dabei ist s der halbe Umfang des Dreiecks (s = (a + b + c) : 2).
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